Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;1) . Mặt phẳng (P) thay đổi đi qua M cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C khác gốc tọa độ. Tính giá trị nhỏ nhất của thể...

Đáp án B

Gọi $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$  với $a;b;c>0$  thì (P) có phương trình $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ .

Vì $M(1;2;1)\in \left(P\right)\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}=1$

Thể tích khối tứ diện OABC là $V=\frac{1}{6}.OA.OB.OC=\frac{1}{6}abc$

Ta tìm giá trị nhỏ nhất của $V=\frac{1}{6}abc$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số $\frac{1}{a};\frac{2}{b};\frac{1}{c}$  ta có

$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\ge 3\sqrt[4]{\frac{2}{abc}}$.

$\iff 1\ge 3\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{abc}}\iff 1\ge \frac{54}{abc}\iff abc\ge 54$

Dấu “=” xảy ra khi $\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}=\frac{2}{b}=\frac{1}{c}\\ \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=3\\ b=6\\ c=3\end{array}$

Suy ra giá trị nhỏ nhất của V là $\frac{1}{6}.54=9\iff a=3;b=6;c=3$ .