Với giá trị thực nào của tham số m thì đường thẳng y=2x+m cắt đồ thị hàm số y=(x+3)/(x+1) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho MN ngắn nhất?

Đáp án B

Xét phương trình hoành độ giao điểm $2\text{x}+m=\frac{x+3}{x+1}\iff (2\text{x}+m)(x+1)=x+3$

 $\iff 2{\text{x}}^2+(m+1)x+m-3=0$(*) ($x\ne -1$ )

Đường thẳng $y=2\text{x}+m$  cắt đồ thị hàm số $y=\frac{x+3}{x+1}$  tại hai điểm phân biệt $x_1,{\text{ x}}_2$  (*) có hai nghiệm phân biệt  khác -1.

$\iff \{\begin{array}{l}\Delta ={(m+1)}^2-4.2(m-3)>0\\ 2.{(-1)}^2+(m+1).(-1)+m-3\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{m}^2-6m+25>0\\ -2\ne 0\end{array}$

 (luôn đúng).

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{m+1}{2}\\ x_1{x}_2=\frac{m-3}{2}\end{array}$ .

Gọi hai giao điểm là $M(x_1;2{\text{x}}_1+m),\text{ N}(x_2;2{\text{x}}_2+m)$ .

Khi đó $MN=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(2{\text{x}}_2-2{\text{x}}_1)}^2}=\sqrt{5(x_2^2-2{\text{x}}_2{x}_1+x_1^2)}=\sqrt{5[{(x_2+x_1)}^2-4{\text{x}}_1{x}_2]}$ .

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta được: $M{N}^2=5[{\left(\frac{m+1}{2}\right)}^2-4.\frac{m-3}{2}]=5(\frac{m^2+2m+1}{4}-2(m-3))=\frac{5}{4}(m^2+2m+1-8m+24)$

$=\frac{5}{4}(m^2-6m+25)=\frac{5}{4}[{(m-3)}^2+16]\ge \frac{5}{4}.16=20$.

$\Rightarrow M{N}^2\ge 20\Rightarrow mn\ge 2\sqrt{5}\Rightarrow \min MN=2\sqrt{5}$  khi m=3