Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số

Ta có: $y=x^3-m{x}^2+\left(m-6\right)x+1\Rightarrow y\text{'}=3x^2-2mx+m-6.$

Để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2) thì $y\text{'}\le 0\forall x\in \left(0;2\right)$ và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

$\Rightarrow 3x^2-2mx+m-6\le 0\forall x\in \left(0;2\right).$

Ta có $\Delta \text{'}=m^2-3\left(m-6\right)=m^2-3m+18>0\forall m$ nên phương trình $3x^2-2mx+m-6=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1<x_2.$ Khi đó ta có $3x^2-2mx+m-6\le 0\iff x\in \left(x_1;x_2\right).$

Do đó để $3x^2-2mx+m-6\le 0\forall x\in \left(0;2\right)$ thì $\left(0;2\right)\subset \left(x_1;x_2\right)\Rightarrow x_1\le 0<2\le x_2.$

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1\le 0<x_2\\ x_1<2\le x_2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2\le 0\\ \left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)\le 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{m-6}{3}\le 0\\ \frac{m-6}{3}-2.\frac{2m}{3}+4\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\le 6\\ m-6-4m+12\le 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\le 6\\ -3m+6\le 0\end{array}\right.\iff 2\le m\le 6$

Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{2;3;4;5;6\right\}.$

Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu.

Chọn C.