Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số

* Hướng dẫn giải

Xét phương trình $x^3+3x^2+m+1=0\left(*\right)$

TH1: x = 1 là nghiệm của $\left(*\right)\Rightarrow 5+m=0\iff m=-5.$

Khi đó ta có $y=\frac{x-1}{x^3+3x^2-4}=\frac{x-1}{\left(x-1\right){\left(x+2\right)}^2}=\frac{1}{{\left(x+2\right)}^2},$ khi đó đồ thị có TCĐ x = -2.

$\Rightarrow m=-5$ thỏa mãn.

TH2: x = 1 không là nghiệm của (*), khi đó để đồ thị đã cho có đúng 1 TCĐ thì (*) có nghiệm duy nhất khác 1.

Ta có $\left(*\right)\iff m=-x^3-3x^2-1=f\left(x\right).$

Xét hàm số $f\left(x\right)=-x^3-3x^2-1$ ta có $f\text{'}\left(x\right)=-3x^2-6x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}\right..$

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy m = f(x) có nghiệm duy nhất khác 1 khi $\left[\begin{array}{l}m>-1\\ m<-5\end{array}\right..$

Kết hợp 2 TH ta có $\left[\begin{array}{l}m\le 5\\ m>-1\end{array}\right..$

Chọn D.