Cho a, b, c là các số thực và f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c thỏa mãn

* Hướng dẫn giải

Ta có: $I=\underset{t}{\overset{t+5}{\int }}f\text{'}\left(x\right)dx=f\left(x\right)\left|\begin{array}{l}t+5\\ t\end{array}\right.=f\left(t+5\right)-f\left(t\right).$

Chọn t = 0 ta có I = f(5) - f(0)

Ta có: $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=3x^2+2ax+b$

Vì f'(0) = f'(5) = 2 nên 0 và 5 là hai nghiệm của phương trình $f\text{'}\left(x\right)-2=0\iff 3x^2+2ax+b-2=0$

Áp dụng địn lí Vi-ét ta có $\left\{\begin{array}{l}-\frac{2a}{3}=5\\ \frac{b-2}{3}=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-\frac{15}{2}\\ b=2\end{array}\right.$

Khi đó ta có:

I = f(5) - f(0)

$I=125+25a+5b+c-c$

$I=125+25a+5b$

$I=125-25.\frac{15}{2}+5.2=-\frac{105}{2}.$

Chọn A.