Có bao nhiêu số nguyên m thuộc (-20; 20) để phương trình

ĐKXĐ: $0<x<m.$

Ta có:

     ${\log }_{2}x+{\log }_3\left(m-x\right)=2$

$\iff {\log }_3\left(m-x\right)=2-{\log }_{2}x={\log }_2\frac{4}{x}$

Đặt ${\log }_3\left(m-x\right)={\log }_2\frac{4}{x}=t\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}m-x=3^t\\ \frac{4}{x}=2^t\end{array}\right.$

$\Rightarrow m-3^t=\frac{4}{2^t}\iff m=3^t+\frac{4}{2^t}=f\left(t\right).$

Ta có $f\text{'}\left(t\right)=3^t\ln 3-\frac{4.\ln 2}{2^t}=0\iff 6^t\ln 3-4\ln 2=0$

$\iff 6^t=4\frac{\ln 2}{\ln 3}\iff 4{\log }_{3}2\Rightarrow t={\log }_6\left(4{\log }_{3}2\right)=t_0$

BBT:

Phương trình m = f(t) có nghiệm khi và chỉ khi $m\ge f\left(t_0\right)\approx 4,5.$

Kết hợp điều kiện đề bài và $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{5;6;7;\mathrm{...};19\right\}.$ Vậy có 15 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn A.