Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

Ta có: $y=mx+\left(m+1\right)\sqrt{x-2}\Rightarrow y\text{'}=m+\frac{m+1}{2\sqrt{x-2}}=\frac{2m\sqrt{x-2}+m+1}{2\sqrt{x-2}}$

Để hàm số nghịch biến trên $D=\left(2;+\infty \right)$ thì $y\text{'}\le 0\forall x\in \left(2;+\infty \right).$

$\Rightarrow \frac{2m\sqrt{x-2}+m+1}{2\sqrt{x-2}}\le 0\forall x\in \left(0;2\right)$

$\iff m\left(2\sqrt{x-2}+1\right)\le -1\forall x\in \left(0;2\right)$

$\iff m\le \frac{-1}{2\sqrt{x-2}+1}\forall x\in \left(0;2\right)$

Đặt $g\left(x\right)=\frac{-1}{2\sqrt{x-2}+1}$ ta có $m\le g\left(x\right)\forall x\in \left(0;2\right)\iff m\le \underset{\left[2;+\infty \right)}{\min }g\left(x\right).$

Ta có $g\text{'}\left(x\right)=\frac{\frac{1}{\sqrt{x-2}}}{{\left(2\sqrt{x-2}+1\right)}^2}>0\forall x\in \left(2;+\infty \right)$ nên hàm số đồng biến trên $\left(2;+\infty \right).$

Do đó $\underset{\left[2;+\infty \right)}{\min }g\left(x\right)=g\left(2\right)=-1.$

Vậy $m\le -1.$

Chọn B.