Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt nằm trên các cạnh A'B' và BC sao cho MA' =MB' và NB=2NC. Mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. G...

Đáp án C

Dựng đường tròn tâm O là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Kẻ đường kính AQ

Xét tam giác ACB:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2.AB.AC.\cos \widehat{BAC}$

$=3a^2+a^2-2.a^2.\sqrt{3}.\cos 150°=7a^2\Rightarrow BC=a\sqrt{7}$

$R_{\Delta ABC}=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{a\sqrt{7}}{2.\sin 150°}=a\sqrt{7}\Rightarrow AO=a\sqrt{7}$

Vì AQ là đường kính đường tròn tâm O, điểm B thuộc đường tròn này nên $QB\perp AB$

Ta có: $\begin{array}{l}QB\perp AB\\ QB\perp SA\end{array}\}\Rightarrow QB\perp \left(SAB\right)\Rightarrow QB\perp AM$

Ta có: $\begin{array}{l}AM\perp QB\\ AM\perp SB\end{array}\}\Rightarrow AM\perp \left(SQB\right)\Rightarrow AM\perp QM\Rightarrow \Delta AMQ$ vuông tại M.

Chứng minh tương tự ta được: $\Delta ANQ$  vuông tại N.

Ta có các tam giác: $\Delta ABQ$ , $\Delta AMQ$ , $\Delta ANQ$ , $\Delta ACQ$  là các tam giác vuông lần lượt ở B, M, N, C

Do đó các điểm A, B, C, N, M thuộc mặt cầu đường kính AQ

 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCMN là $AO=a\sqrt{7}$

$\Rightarrow V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(a\sqrt{7}\right)}^3=\frac{28\sqrt{7}\pi a^3}{3}$