Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh bằng a căn 3, góc BAD=60 độ , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC và (ABCD) bằng 45°. Gọi G là trọng tâm ta...

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Do tam giác SAC là tam giác vuông cân tại A $\Rightarrow SA=AC=3a$

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD

Ta có: $AD//MN\Rightarrow d(AD;OG)=d(AD;\left(SMN\right))=d(A;\left(SMN\right))$

Kẻ $AE\perp BC\Rightarrow \left\{I\right\}$ , $AE\perp MO=\left\{E\right\}$

Khi đó ta có: $\{\begin{array}{l}MN\perp AE\\ MN\perp SA\end{array}\Rightarrow MN\perp \left(SAE\right)\Rightarrow \left(SAE\right)\perp \left(SMN\right)$  theo giao tuyến SE.

Trong tam giác SEA vuông tại A, kẻ $AH\perp SE=\left\{H\right\}$

Khi đó $d(A;\left(SMN\right))=AH$

Xét tam giác SAE có AH là đường cao, nên ta có

$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{E}^2}=\frac{1}{{\left(3a\right)}^2}+\frac{1}{{\left(\frac{3a}{4}\right)}^2}=\frac{17}{9a^2}$

Suy ra  $AH=\frac{3\sqrt{17}a}{17}\Rightarrow d(OG;AD)=\frac{3\sqrt{17}a}{17}$