Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB=2a , AD=a căn3cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SD và mặt phẳng đáy là 30 độ . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình ch...

Đáp án A

Gọi $O=AC\cap BD$ .

Qua O dựng đường thẳng d vuông góc với đáy. Mặt phẳng trung trực của SA cắt d tại I.

Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Do $SA\perp \left(ABCD\right)$  nên góc giữa SD và đáy bằng .

Tam giác SAD vuông tại A có $AD=a\sqrt{3},SDA=30°$ .

$\begin{array}{l}\Rightarrow SA=AD.\tan 30°=a\sqrt{3}.\frac{\sqrt{3}}{3}=a\\ \Rightarrow AH=\frac{1}{2}AS=\frac{a}{2};AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{A{D}^2+D{C}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{3a^2+4a^2}=\frac{a\sqrt{7}}{7}\end{array}$

$\Rightarrow AI=\sqrt{A{O}^2+O{I}^2}=\sqrt{\frac{7a^2}{4}+\frac{a^2}{4}}=a\sqrt{2}\Rightarrow S=4\pi A{I}^2=4\pi {\left(a\sqrt{2}\right)}^2=8\pi a^2.$