Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho

* Hướng dẫn giải

ĐK: $\left\{\begin{array}{l}{x}^2-2x+m>0\\ {\log }_4\left(x^2-2x+m\right)\ge 0\end{array}\right.\forall x\in \left[0;3\right]\iff x^2-2x+m\ge 1\forall x\in \left[0;3\right].$

$\iff m\ge -x^2+2x+1\forall x\in \left[0;3\right]\iff m\ge \underset{\left[0;3\right]}{\max }\left(-x^2+2x+1\right)=2\left(*\right)$

Ta có:

     ${\log }_2\sqrt{x^2-2x+m}+3\sqrt{{\log }_4\left(x^2-2x+m\right)}\le 10$

$\iff {\log }_2\sqrt{x^2-2x+m}+3\sqrt{{\log }_2\sqrt{x^2-2x+m}}\le 10$

Đặt $t=\sqrt{{\log }_2\sqrt{x^2-2x+m}}\ge \sqrt{{\log }_{2}1}=0.$

Ta có:

$t=\frac{\left({\log }_2\sqrt{x^2-2x+m}\right)\text{'}}{2\sqrt{{\log }_2\sqrt{x^2-2x+m}}}$

  $=\frac{\frac{2x-2}{2\sqrt{x^2-2x+m}.\sqrt{x^2-2x+m}\ln 2}}{2\sqrt{{\log }_2\sqrt{x^2-2x+m}}}$

     $=\frac{x-1}{\left(x^2-2x+m\right)\ln 2.2\sqrt{{\log }_2\sqrt{x^2-2x+m}}}$

$t\text{'}=0\iff x=1.$

BBT:

Yêu cầu bài toán trở thành: bất phương trình  nghiệm đúng với mọi giá trị x thuộc đoạn $\left[0;\sqrt{{\log }_2\sqrt{m+3}}\right].$

$\Rightarrow t\in \left[-5;2\right]\forall t\in \left[0;\sqrt{{\log }_2\sqrt{m+3}}\right].$

$\Rightarrow \sqrt{{\log }_2\sqrt{m+3}}\le 2\iff {\log }_2\sqrt{m+3}\le 4\iff \sqrt{m+3}\le 16\iff m\le 253.$

Kết hợp điều kiện (*) ta có $2\le m\le 253.$ Lại có $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow$ Có 252 giá trị nguyên của  thỏa mãn.

Chọn C.