Gọi A, B lần lượt là các giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y=(x^2+m^2+2m)/(x-2) trên đoạn [3;4]. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để A+B=19/2

Đáp án A

TXĐ: $D=ℝ\backslash \left\{2\right\}$ . Ta có:

$y\text{'}=\frac{-2.1-1.(m^2+2m)}{{(x-2)}^2}=\frac{-m^2-2m-2}{{(x-2)}^2}=\frac{-{(m+1)}^2-1}{{(x-2)}^2}<0\forall x\in D$

$y\text{'}<0\forall x\in [3;4]$ Hàm số đã cho nghịch biến trên [3;4]

$\begin{array}{l}\Rightarrow \underset{\text{[}3;4]}{\min y}=y\left(4\right)=\frac{m^2+2m+4}{2};\underset{\text{[}3;4]}{\max }y=y\left(3\right)=m^2+2m+3\\ \Rightarrow A=\frac{m^2+2m+4}{2};B=m^2+2m+3\end{array}$

Theo đề bài ta có $A+B=\frac{19}{2}\Rightarrow \frac{m^2+2m+4}{2}+m^2+2m+3=\frac{19}{2}$

$\iff \frac{m^2+2m+4+2m^2+4m+6}{2}=\frac{19}{2}\iff 3m^2+6m-9=0\iff [\begin{array}{l}m=1\\ m=-3\end{array}$