Cho hình chóp S.ABCD có SC=x( 0

Đáp án A

 $\Rightarrow AC=\sqrt{S{A}^2+S{C}^2}=\sqrt{a^2+x^2}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAC có   $SH=\frac{SA.SC}{AC}=\frac{ax}{\sqrt{a^2+x^2}}$

Ta có  $OA=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+x^2}$

$\Rightarrow OB=\sqrt{A{B}^2-O{A}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2+x^2}{4}}=\frac{\sqrt{3a^2-x^2}}{2}\Rightarrow BD=\sqrt{3a^2-x^2}$

 Do ABCD là hình thoi   $\Rightarrow S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC.BD$

Khi đó ta có:  $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SH.S_{ABCD}=\frac{1}{6}.\frac{ax}{\sqrt{a^2+x^2}}\sqrt{a^2+x^2}.\sqrt{3a^2-x^2}=\frac{1}{6}ax\sqrt{3a^2-x^2}$

Áp dụng BĐT Cosi ta có:  $x\sqrt{3a^2-x^2}\le \frac{x^2+3a^2-x^2}{2}=\frac{3a^2}{2}\Rightarrow V_{S.ABCD}\le \frac{1}{6}a\frac{3a^2}{2}=\frac{a^3}{4}$