Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số sau đạt cực tiểu tại x=0 y=x^8+(m+1)x^5=(m^2-1)x^4+1

Đáp án C

Ta có  $y\text{'}=8x^7+5(m+1)x^4-4(m^2-1)x^3;y\text{'}\text{'}=56x^6+20(m+1)x^3-12(m^2-1)x^2$

$\Rightarrow y=0\iff 8x^7+5(m+1)x^4-4(m^2-1)x^3=0\iff x^3[8x^4+5(m+1)x-4(m^2-1)]=0$ 

TH1: Xét  $m^2-1=0\iff m=\pm 1$

·        Khi  $m=1$ ta có $y\text{'}=0\iff x^3(8x^4+10x)=x^4(8x^3+10)\Rightarrow x=0$   là nghiệm bội $4\Rightarrow x=0$  không là cực trị của hàm số.

·        Khi $m=-1$   ta có $y\text{'}=0\iff x^3.8x^4=0\iff 8x^7=0\iff x=0$  là nghiệm bội lẻ $\iff x=0$  là điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa qua điểm  thì  đổi dấu từ âm sang dương nên x=0 là điểm cực tiểu của hàm số.

TH2: Xét  $m^2-1\ne 0\iff m\ne \pm 1$ ta có:

 $y=0\iff x^2[8x^5+5(m+1)x^2-4(m^2-1)x]=0\iff [\begin{array}{l}{x}^2=0\\ 8x^5+5(m+1)x^2-4(m^2-1)x=0\end{array}$

$x^2=0\iff x=0$ là nghiệm bội chẵn không là cực trị của hàm số, do đó cực trị của hàm số ban đầu là nghiệm của phương trình   $g\left(x\right)=8x^5+5(m+1)x^2-4(m^2-1)x=0$

Hàm số đạt cực tiểu  $x=0\iff g\text{'}\left(0\right)>0$

Ta có  $g\text{'}\left(x\right)=40x^4+10(m+1)x-4(m^2-1)$

 $\Rightarrow g\text{'}\left(0\right)=-4(m^2-1)>0\iff m^2-1<0\iff -1<m<1$