Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng bốn nghiệm phân biệt (7-3căn5)^x^2+m(7+3 căn5)^x^2=2x^(2-1)

Đáp án A

Ta có:  $(7+3\sqrt{5})(7-3\sqrt{5})=49-45=4\Rightarrow 7-3\sqrt{5}=\frac{4}{7+3\sqrt{5}}$

Phương trình tương đương với:  ${\left(\frac{4}{7+3\sqrt{5}}\right)}^{x^2}+m{(7+3\sqrt{5})}^{x^2}=\frac{1}{2}{.2}^{x^2}$

 $\begin{array}{l}\iff {2.2}^{x^2}-2^{x^2}.{(7+3\sqrt{5})}^2+2m{(7+3\sqrt{5})}^{x^2}=0\\ \iff 2.{\left(\frac{2}{7+3\sqrt{5}}\right)}^{2x^2}-{\left(\frac{2}{7+3\sqrt{5}}\right)}^{x^2}+2m=0(*)\end{array}$

Đặt  ${\left(\frac{2}{7+3\sqrt{5}}\right)}^{2x^2}=t\Rightarrow x^2={\log }_{\frac{2}{7+3\sqrt{5}}}t.$

Ta có:  $0<\frac{2}{7+3\sqrt{5}}<1\Rightarrow {\log }_{\frac{2}{7+3\sqrt{5}}}t>0\iff 0<t<1\Rightarrow (*)\iff 2t^2-t+2m=0\left(1\right)$

Để có phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt  phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  $t\in (0;1)$

$\iff \{\begin{array}{l}\Delta >0\\ af\left(0\right)>0\\ af\left(1\right)>0\\ 0<-\frac{b}{2a}<1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}1-16m>0\\ 4m>0\\ 2(2m+1)>0\\ 0<\frac{1}{2}<1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m<\frac{1}{16}\\ m>0\iff 0<m<\frac{1}{16}\\ m>-\frac{1}{2}\end{array}$