Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(-3;0;0), B(0;0;3), C(0;-3;0) và mặt phẳng (P): x+y+z=3 Tìm trên (P) điểm M sao cho |MA+MB-MC| nhỏ nhất

Đáp án C

Gọi điểm  $I(a,b,c)$ thỏa mãn  $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ 

Ta có:  $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{IA}=(-3-a;-b;-c)\\ \overrightarrow{IB}=(-a;-b;3-c)\\ \overrightarrow{IC}=(-a;-3-b;-c)\end{array}\Rightarrow \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=(-3-a;3-b;3-c)=\overrightarrow{0}$

$\iff \{\begin{array}{l}-3-a=0\\ 3-b=0\\ 3-c=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-3\\ b=3\\ c=3\end{array}\iff I(-3;3;3)$

Ta có $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}|=|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IC}|=|\overrightarrow{MI}+(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC})|=\left|\overrightarrow{MI}\right|=MI$

Do đó  nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất  là hình chiếu của I trên (P)

Ta thấy $-3+3+3-3=0\Rightarrow I\in \left(P\right)$

Nên hình chiếu của I trên (P) là chính nó

Do đó $M\equiv I\Rightarrow M(-3;3;3)$