Cho hình nón (T) đỉnh S có đáy là đường tròn (C1) tâm O bán kính bằng 2

Câu hỏi :

Cho hình nón (T) đỉnh S có đáy là đường tròn $\left(C_1\right)$ tâm O bán kính bằng 2, chiều cao hình nón (T) bằng 2. Khi cắt hình nón (T) bởi mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn SO và song song với đáy của hình nón, ta được đường tròn $\left(C_2\right)$ tâm I. Lấy hai điểm A và B lần lượt trên hai đường tròn $\left(C_2\right)$ và $\left(C_1\right)$ sao cho góc giữa $\overrightarrow{IA}$ và $\overrightarrow{OB}$ là ${60}^0.$  Thể tích của khối tứ diện IAOB bằng:

* Đáp án

A

* Hướng dẫn giải

Gọi $A\text{'}=SA\cap \left(C_1\right),$ áp dụng định lí Ta-lét ta có $\frac{IA}{OA\text{'}}=\frac{SI}{SO}=\frac{1}{2}\Rightarrow IA=\frac{1}{2}OA\text{'}=1.$

Ta có IO vuông góc và cắt cả $IA,OB\Rightarrow IO$ là đoạn vuông góc chung của IA, OB.

$\Rightarrow d\left(IA;OB\right)=IO=\frac{1}{2}SO=1.$

Vậy $V_{IAOB}=\frac{1}{6}IA.OB.d\left(IA;OB\right).\sin \angle \left(IA;OB\right)=\frac{1}{6}\mathrm{.1.2.1.}\sin {60}^0=\frac{\sqrt{3}}{6}.$

Chọn A.