Gọi X là tập hợp các giá trị của tham số m thỏa mãn đường thẳng (d)

* Hướng dẫn giải

Ta có:

$y=\frac{1}{3}{x}^3-m{x}^2-4x-1$

$\Rightarrow y\text{'}=x^2-2mx-4$

$\Rightarrow y"=2x-2m$

$y"=0\iff 2x-2m=0\iff x=m.$

Với $x=m\Rightarrow y=\frac{1}{3}{m}^3-m^3-4m-1=-\frac{2}{3}{m}^3-4m-1.$

$\Rightarrow I\left(m;-\frac{2}{3}{m}^3-4m-1\right)$ là điểm uốn của đồ thị hàm số.

Vì đường thẳng d cùng với đồ thị (C) tạo thành hai miền kín có diện tích lần lượt là $S_1$ và $S_2$ thỏa mãn $S_1=S_2$ nên $I\in d.$

$\Rightarrow -\frac{2}{3}{m}^3-4m-1=-12m-7\iff -\frac{2}{3}{m}^3+8m+6=0$

$\iff \left(m+3\right)\left(m^2-3m+3\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}m=-3\\ m=\frac{3\pm \sqrt{21}}{2}\end{array}\right..$

$\Rightarrow X=\left\{3;\frac{3\pm \sqrt{21}}{2}\right\}.$

Vậy tích các phần tử của X bằng 9.

Chọn A.