Xét các số phức z thỏa mãn |z - 1| = 2. Gọi M và m lần lượt là

* Hướng dẫn giải

Gọi $z=x+yi\left(x,y\in ℝ\right)$ và M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z

Gọi I(1; 0) là điểm biểu diễn số phức 1.

Theo bài ra ta có $\left|z-1\right|=2\Rightarrow IM=2\Rightarrow M\in \left(1;2\right).$

Gọi A(-2; 0) là điểm biểu diễn số phức -2, B(3; 0) là điểm biểu diễn số phức 3.

Ta có: $P=\left|z+2\right|+2\left|3-\overline{z}\right|=\left|z+2\right|+2\left|\overline{3-z}\right|=\left|z+2\right|+2\left|3-z\right|=MA+2MB.$

Ta có $P=MA+2MB\ge AB=5\Rightarrow m=5.$ Dấu “=” xảy ra khi $M\equiv B.$

Ta có: $\overrightarrow{IA}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{IB}.$

$M{A}^2={\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)}^2=M{I}^2+I{A}^2+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IA}=M{I}^2+I{A}^2-3\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IB}$

$M{B}^2={\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)}^2=M{I}^2+I{B}^2+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IB}$

$\Rightarrow M{A}^2+\frac{3}{2}M{B}^2=\frac{5}{2}M{I}^2+I{A}^2+\frac{3}{2}I{B}^2=5R^2+I{A}^2+\frac{3}{2}I{B}^2=25$

Ta có: $\left(MA+2M{B}^2\right)={\left(MA+\frac{2\sqrt{6}}{3}.\frac{\sqrt{6}}{2}MB\right)}^2=\frac{11}{3}\left(M{A}^2+\frac{3}{2}M{B}^2\right)=\frac{275}{3}.$

$\Rightarrow M=P_{max}=\frac{5\sqrt{33}}{3}.$

Vậy $M+m=\frac{5\sqrt{33}}{3}+5=\frac{15+5\sqrt{33}}{3}.$

Chọn D.