Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu (S1)

Mặt cầu $\left(S_1\right):{\left(x-2\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=4$ có tâm $I_1\left(2;-3;1\right)$, bán kính $R_1=2.$

Mặt cầu $\left(S_2\right):{\left(x-3\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=1$ có tâm $I_2\left(3;-1;-1\right)$, bán kính $R_2=1.$

Ta có: $I_1{I}_2=\sqrt{1^2+2^2+{\left(-2\right)}^2}=3=R_1+R_2.$

$\Rightarrow \left(S_1\right),\left(S_2\right)$ tiếp xúc ngoài.

Gọi $\left(P\right),\left(Q\right),\left(R\right)$ là 3 mặt phẳng đi qua M đôi một vuông góc với nhau và lần lượt cắt mặt cầu $\left(S_1\right)$ theo ba đường tròn.

Gọi $H_1,H_2,H_3$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $I_1$ lên $\left(P\right),\left(Q\right),\left(R\right).$

     $r_1,r_2,r_3$ theo thứ tự là bán kính các đường tròn tâm $H_1,H_2,H_3.$

Khi đó ta có $I_1{H}_1^2+I_1{H}_2^2+I_1{H}_3^2=I_1{M}^2$

$\iff 4-r_1^2+4-r_2^2+4-r_3^2=I_1{M}^2$

Tổng chu vi 3 đường tròn là:

$T=2\pi r_1+2\pi r_2+2\pi r=2\pi \left(r_1+r_2+r_3\right)$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

${\left(r_1+r_2+r_3\right)}^2\le \left(1^2+1^2+1^2\right)\left(r_1^2+r_2^2+r_3^2\right)$

$\Rightarrow r_1+r_2+r_3\le \sqrt{3\left(12-I_1{M}^2\right)}$

$\Rightarrow T\le 2\pi \sqrt{3\left(12-I_1{M}^2\right)}\le 2\pi \sqrt{3\left(12-R_1^2\right)}=2\pi \sqrt{3\left(12-4\right)}=4\pi \sqrt{6}.$

Vậy $T_{\max }=4\pi \sqrt{6}.$ Dấu “=” xảy ra khi $r_1=r_2=r_3,I_{1}M=2.$

Chọn B.