Cho hình chóp có đáy S. ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm đối xứng của C qua B và là trung điểm của SC. Mặt phẳng (MND) chia khối chóp S. ABCD thành hai khối đa diện, trong đó...

Đáp án D

Gọi V là thể tích khối chóp .

Có $BP//DC\Rightarrow \frac{BP}{DC}=\frac{MP}{MD}=\frac{MB}{MC}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{BP}{AB}=\frac{1}{2}\Rightarrow P$ là trung điểm của AB.

Ta có $\Delta MBP=\Delta DAP(c.g.c)\Rightarrow S_{\Delta MBP}=S_{\Delta DAP}$

$\Rightarrow S_{\Delta MBP}+S_{BCDP}=S_{\Delta DAP}+S_{BCDP}\Rightarrow S_{MCD}=S_{ABCD}$

Mà $\frac{d(N;(MCD\left)\right)}{d(S;(ABCD\left)\right)}=\frac{NC}{SC}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \frac{V_{N.MCD}}{V_{S.ABCD}}=\frac{\frac{1}{3}{S}_{MCD}.d(N,(MCD\left)\right)}{\frac{1}{3}{S}_{ABCD}.d(S,(ABCD\left)\right)}=\frac{1}{2}\Rightarrow V_{N.MCD}=\frac{1}{2}{V}_{S.ABCD}=\frac{V}{2}$

Xét tam giác , áp dụng định lý Mênêlauýt cho bộ ba điểm thẳng hàng  ta có: $\frac{BM}{BC}\cdot \frac{SC}{SN}\cdot \frac{QN}{QM}=1\iff \mathrm{1.2.}\frac{QN}{QM}=1\iff \frac{QN}{QM}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{MQ}{MN}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow \frac{V_{M.PBQ}}{V_{M.NCD}}=\frac{MB}{MC}\cdot \frac{MP}{MD}\cdot \frac{MQ}{MN}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{6}\Rightarrow V_{M.PBQ}=\frac{1}{6}{V}_{M.NCD}=\frac{1}{6}\cdot \frac{V}{2}=\frac{V}{12}$

$\Rightarrow V_{BPQ.CDN}=V_{M.CDN}-V_{M.BPQ}=\frac{V}{2}-\frac{V}{12}=\frac{5V}{12}$

$\Rightarrow V_2=\frac{5V}{12}\Rightarrow V_1=V-\frac{5V}{12}=\frac{7V}{12}\Rightarrow \frac{V_1}{V_2}=\frac{7}{5}$