Cho các số thực dương x, y thỏa mãn 2^(x^2+y^1-1)+log3 (x^2+y^2+1)=3 . Biết giá trị lớn nhất của biểu thức S=|x-y|+|x^3-y^3|= a căn6/b với a, b là các số nguyên dương và phân số a/...

Nhận xét hàm số  $f\left(t\right)=2^{t-1}+{\log }_3(t+1)$ đồng biến và $f\left(2\right)=3$ , từ đó

$2^{x^2+y^2-1}+{\log }_3(x^2+y^2+1)=3\iff x^2+y^2=2$.

$S=|x-y|+|x^3-y^3|=|x-y|(1+x^2+y^2+xy)$

$\iff S^2={(x-y)}^2{(3+xy)}^2=(2-2xy){(3+xy)}^2$

Đặt $t=xy$  do $\left|xy\right|\le \frac{x^2+y^2}{2}=1$   nên $t\in [-1;1]$ .

Xét hàm số $g\left(t\right)=(2-2t){(3+t)}^2$  trên $[-1;1]$  được $\underset{{}_{t\in [-1;1]}}{\max }g\left(t\right)=g(-\frac{1}{3})=\frac{512}{27}$  .

Do $S>0$  nên $S^2\le \frac{512}{27}\iff S\le \frac{16\sqrt{6}}{9}$ .

Vậy $T=34$ .