Cho hàm số f(x) thỏa mãn [f'(x)]^2+f(x).f'(x)=4x^3+2x với mọi x thuộc R và f(0)=0 . Giá trị của f^2(1) bằng

Đáp án C

Ta có: ${\left[f^{\text{'}}\left(x\right)\right]}^2+f\left(x\right).f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)={[f\left(x\right).f^{\text{'}}\left(x\right)]}^{\text{'}}$ .

Từ giả thiết ta có: ${[f\left(x\right).f^{\text{'}}\left(x\right)]}^{\text{'}}=4x^3+2x$ .

Suy ra: $f\left(x\right).f^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{}{\overset{}{\int }}(4x^3+2x)dx=x^4+x^2+C$ . Với $f\left(0\right)=0\Rightarrow C=0$

Nên ta có: $f\left(x\right).f^{\text{'}}\left(x\right)=x^4+x^2$

Suy ra: $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right).f^{\text{'}}\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x^4+x^2)dx\iff \frac{f^2\left(x\right)}{2}|\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}=\frac{8}{15}\Rightarrow f^2\left(1\right)=\frac{16}{15}$ .