Cho hàm số f(x) liên tục trên f'(x) và có đồ thị F'(x) như hình vẽ bên. Bất phương trình log5 [f(x)+m+2]+f(x)>4-m đúng với mọi x thuộc (-1;4) khi và chỉ khi

Đáp án D

Ta có:    ${\log }_5[f\left(x\right)+m+2]+f\left(x\right)>4-m\iff {\log }_5[f\left(x\right)+m+2]+f\left(x\right)+m+2>{\log }_{5}5+5$

Xét hàm số   $y=g\left(t\right)={\log }_{5}t+t$ (t>0)

Ta có $g^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{1}{t\ln 5}+1>0$ , $\forall t>0$  suy ra hàm số $y=g\left(t\right)$  đồng biến trên $(0;+\infty )$ .

Khi đó $(*)\iff f\left(x\right)+m+2>5\iff f\left(x\right)>3-m$ .

Xét hàm số y=f(x)

Ta có  $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{l}x=-1\\ x=1\\ x=4\end{array}$

Ta có bảng biến thiên

Từ đồ thị hàm số, suy ra  $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left|f^{\text{'}}\left(x\right)\right|dx<\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left|f^{\text{'}}\left(x\right)\right|dx\Rightarrow \underset{-1}{\overset{1}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx<-\underset{1}{\overset{4}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx$

$\Rightarrow f\left(x\right)|\begin{array}{l}1\\ -1\end{array}<-f\left(x\right)|\begin{array}{l}4\\ 1\end{array}\Rightarrow f(-1)>f\left(4\right)$.

Bất phương trình $(*)$   đúng với mọi $x\in (-1;4)$  khi và chỉ khi .$f\left(4\right)\ge 3-m\iff m\ge 3-f\left(4\right)$