Với a là tham số thực để bất phương trình 2^x+3^x>=ax+2 có tập nghiệm là R khi đó

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Xét trường hợp $a\le 0$  , phương trình không nhận các giá trị âm của x làm nghiệm.

Thật vậy, khi đó $2^x+3^x<2$  mà  $ax+2\ge 2$.

Suy ra loại .

Xét trường hợp

$2^x+3^x\ge ax+2\iff 2^x+3^x-ax-2\ge 0$.

Đặt $f\left(x\right)=2^x+3^x-ax-2$ , $x\in ℝ$ .

Khi đó $f^{\text{'}}\left(x\right)=2^x\ln 2+3^x\ln 3-a$ , 

$f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff 2^x\ln 2+3^x\ln 3=a$

Đặt $g\left(x\right)=2^x\ln 2+3^x\ln 3$  , $\forall x\in ℝ$  .

$g^{\text{'}}\left(x\right)=2^x{\ln }^{2}2+3^x{\ln }^{2}3>0$, $\forall x\in ℝ$ .

Suy ra hàm số  đồng biến trên R

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x0, ta kết hợp với điều kiện đề bài là $f\left(x\right)\ge 0$  ,  $\forall x\in ℝ$và f(0)=0   suy ra x0=0 và  là giá trị duy nhất để f(0)=0.

Suy ra x0=0 là giá trị duy nhất để f'(x0)=0

$\Rightarrow f^{\text{'}}\left(0\right)=\ln 2+\ln 3-a=0$.

Suy ra $a=\ln 2+\ln 3=\ln 6$ .

Như vậy a là giá trị duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Suy ra mệnh đề đúng là $a\in (1;3)$ .