Cho hàm số f(x)= x^3-x^2+x-m-2 (m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho max|f(x)|_min|f(x)|=16 . Tổng các phần tử của S là:

Đáp án B

Xét hàm số $f\left(x\right)=x^3-x^2+x-m-2$  trên đoạn $f\left(x\right)=x^3-x^2+x-m-2$

Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2-2x+1>\mathrm{0,}\forall x\in ℝ$

Ta lại có: $f\left(0\right)=-m-2;f\left(3\right)=-m+19$ .

TH1: $(m+2)(m-19)\le 0\iff -2\le m\le 19\Rightarrow \{\begin{array}{l}\underset{[0;3]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|=0\\ \underset{[0;3]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|=\max \{|m+2|,|m-19|\}\end{array}$

$\Rightarrow [\begin{array}{l}\underset{[0;3]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|=m+\mathrm{2,}\text{ khi }\frac{17}{2}\le m\le 19\\ \underset{[0;3]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|=19-m,\text{ khi }-2\le m\le \frac{17}{2}\end{array}$

Vậy $\underset{[0;3]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|+\underset{[0;3]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|=16\Rightarrow [\begin{array}{l}m+2=\mathrm{16,}\text{ khi }\frac{17}{2}\le m\le 19\\ 19-m=\mathrm{16,}\text{ khi }0\le m\le \frac{17}{2}\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{l}m=14\\ m=3\end{array}$

TH2: $(m+2)(m-19)>0\iff [\begin{array}{l}m>19\\ m<-2\end{array}$

Suy ra $\underset{[0;3]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|+\underset{[0;3]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|=|m+2|+|m-19|=|2m-17|=16\iff [\begin{array}{l}m=\frac{1}{2}\left(\text{loai}\right)\\ m=\frac{33}{2}\left(\text{loai}\right)\end{array}$ .

Vậy $S=\{3;14\}$ .