Cho 3 số phức z1,z2,z3 thỏa mãn |z-1+2i|=|z+3-4i| , |z1+5-2i|=2 , |z2-1-6i|=2 . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức T|z-z1|+|z-z2|+4 .

Đáp án A

$|z-1+2i|=|z+3-4i|\iff {(x-1)}^2+{(y+2)}^2={(x+3)}^2+{(y-4)}^2\iff 2x-3y+5=0$

Vậy điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng $d:2x-3y+5=0$

$|z_1+5-2i|=2\iff {(x+5)}^2+{(y-2)}^2=4$

Vậy điểm A biểu diễn số phức $z_1$  là đường tròn $\left(C_1\right):{(x+5)}^2+{(y-2)}^2=4\Rightarrow I_1(-5;2);R_1=2$ .

$|z_2-1-6i|=2\iff {(x-1)}^2+{(y-6)}^2=4$

Vậy điểm A biểu diễn số phức $z_2$  là đường tròn $\left(C_2\right):{(x-1)}^2+{(y-6)}^2=4\Rightarrow I_2(1;6);R_2=2$ .

Ta có $T=|z-z_1|+|z-z_2|+4=MA+MB+4$

Gọi $\left(C_3\right)$  là đường tròn đối xứng $\left(C_1\right)$  qua d 

 $\Rightarrow \left(C_3\right),J,R=2$với  đối xứng $I_1$   qua $\Rightarrow J(-\frac{21}{13};-\frac{40}{13})$

$\Rightarrow T=MA+MB+4\min \iff MA+MB+4=I_{2}J=\frac{2\sqrt{3770}}{13}$

.