Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1;3), B(5;2;-1) và hai điểm M, N thay đổi trên mặt phẳng (Oxy) sao cho điểm I(1;2;0) luôn là trung điểm của MN.

Đáp án A

Gọi M, N thuộc $\left(xOy\right)$  nên $M(x_M;y_M;0),N(x_N;y_N;0)$ , theo giả thiết ta có hệ  $\{\begin{array}{l}{x}_M+x_N=2\\ y_M+y_N=4\end{array}$.

Khi đó  $\overrightarrow{MA}=(1-x_M;1-y_M;3),\overrightarrow{NB}=(5-x_N;2-y_N;-1)=(x_M+3;y_M-2;-1)$

$P=M{A}^2+2N{B}^2+\overrightarrow{MA}\overrightarrow{NB}$

$={(1-x_M)}^2+{(1-y_M)}^2+9+2{(x_M+3)}^2+2{(y_M-2)}^2+1+(1-x_M)(x_M+3)+(1-y_M)(y_M-2)-3$

$=2x_M^2+8x_M+2y_M^2-7y_M+37=2{(x_M+2)}^2+2{(y_M-\frac{7}{4})}^2+\frac{183}{8}\ge \frac{183}{8}$

P đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{183}{8}$  khi $\{\begin{array}{l}{x}_M=-2\\ y_M=\frac{7}{4}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_N=4\\ y_N=\frac{9}{4}\end{array}$

Vậy $T=2x_M-4x_N+7y_M-y_N=2.(-2)-4.4+7.\frac{7}{4}-\frac{9}{4}=-10$  .