Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp chóp đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng a là:

Đáp án C

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC $\Rightarrow SO\perp \left(ABC\right)$  .

Gọi M là trung điểm của SA.

Trong $\left(SOA\right)$  kẻ  $IM\perp SA(I\in SO)$ ta có $\text{IS}=IA$ .

Lại có  là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.

$\Rightarrow A\text{E}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AO=\frac{2}{3}A\text{E}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Tam giác ABC đều cạnh $SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Xét tam giác vuông SOA: .

Dễ thấy $\Delta SOA~\Delta \text{SMI }(g.g)\Rightarrow \frac{SI}{SA}=\frac{SM}{SO}\Rightarrow SI=\frac{SA.SM}{SO}=\frac{a.\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{6}}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{4}$  .

Vậy $R=\frac{a\sqrt{6}}{4}$ .