Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình sau có nghiệm trên [0;1]: 4^(x+1)+4^(1-x)=(m+1)(2^2+x-2^2-x)+16-8m ?

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Phương trình tương đương với: $4(4^x+4^{-x})=4(m+1)(2^x-2^{-x})+16-8m$

Đặt $t=2^x-2^{-x}$ .

Ta có: $t^{\text{'}}=2^x+2^{-x}>0$ .

Do đó $\forall x\in [0;1]$   thì $t\in [0;\frac{3}{2}]$ .

Ta có:$t^2=4^x+4^{-x}-{2.2}^x{.2}^{-x}\Rightarrow 4^x+4^{-x}=t^2+2$ .

Phương trình trở thành: $4(t^2+2)=4t(m+1)+16-8m$

$\iff m(t-2)=(t-2)(t+1)\iff m=t+1$ (vì $t\in [0;\frac{3}{2}]$)

Để phương trình đã cho có nghiệm trên $[0;1]$  thì phương trình  phải có nghiệm $t\in [0;\frac{3}{2}]$ .

Suy ra  $m\in [1;\frac{5}{2}]$.