Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m để tồn tại 4 số phức z thỏa mãn |z-z ngang|+|z+z ngang|=2 và z(z ngang+2)-(z+z ngang)-m là số thuần ảo. Tổng các phần tử của S là:

Đáp án B

Gọi $z=x+yi\Rightarrow \overline{z}=x-yi$

Ta có: $|z+\overline{z}|+|z-\overline{z}|=2$

 $\iff |x+yi+x-yi|+|x+yi-x+yi|=2$

$\iff \left|2\text{x}\right|+\left|2yi\right|=2\iff \left|x\right|+\left|y\right|=1$(*)

$\iff [\begin{array}{l}x+y=1\text{ khi }x\ge \mathrm{0,}y\ge 0\left(d_1\right)\\ x-y=1\text{ khi }x\ge \mathrm{0,}y<0\left(d_2\right)\\ -x+y=1\text{ khi }x<\mathrm{0,}y\ge 0\left(d_3\right)\\ x+y=-1\text{ khi }x<\mathrm{0,}y<0\left(d_4\right)\end{array}$

Ta lại có   $z(\overline{z}+2)-(z+\overline{z})-m=(x+yi)(x-yi+2)-(x+yi+x-yi)-m$

$=x(x+2)+y^2+(-xy+xy+2y)i-2\text{x}-m$

 $=x^2+y^2-m+2yi$là số thuần ảo $\Rightarrow x^2+y^2-m=0\iff x^2+y^2=m\left(C\right)$

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn (*) là hình vuông

Để tồn tại 4 số phức z thì (C) phải cắt cả 4 cạnh của hình vuông ABCD tại 4 điểm phân biệt.

Ta có $d(O;d_1)=\frac{|0+0-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Để (C)   cắt ở 4 cạnh của hình vuông ABCD tại 4 điểm phân biệt thì $[\begin{array}{l}{R}_C=m=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ R_C=m=1\end{array}$

 $\Rightarrow S=\{\frac{1}{\sqrt{2}};1\}\Rightarrow$Tổng các phần tử của S là $\frac{1}{\sqrt{2}}+1=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}$  .