Trên hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a. Hình chiếu của S trên mặt đáy là trung điểm H của OA; góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 45 độ . Tính khoảng...

Đáp án A

Trong  $\left(ABCD\right)$ kẻ $HM\perp CD(M\in CD)$ .

Ta có: $\{\begin{array}{l}CD\perp SH(SH\perp \left(ABCD\right))\\ CD\perp HM\end{array}\Rightarrow CD\perp \left(SHM\right)\Rightarrow CD\perp SM$

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\left(SCD\right)\cap \left(ABCD\right)=CD\\ \left(SCD\right)\supset SM\perp CD\\ \left(ABCD\right)\supset HM\perp CD\end{array}\\ \Rightarrow \widehat{\left(SCD\right),\left(ABCD\right)}=\widehat{(SM,HM)}=\widehat{SMH}=45°\end{array}$

Trong $\left(SHM\right)$  kẻ $HK\perp SM(K\in SM)$  ta có:

$\{\begin{array}{l}HK\perp SM\\ HK\perp CD\end{array}\Rightarrow HK\perp \left(SCD\right)$.

Ta có: $AB//CD\Rightarrow d(AB;SC)=d(AB;\left(SCD\right))=d(A;\left(SCD\right))$  .

$AH\cap \left(SCD\right)=C\Rightarrow \frac{d(A;\left(SCD\right))}{d(H;\left(SCD\right))}=\frac{AC}{HC}=\frac{4}{3}\Rightarrow d(A;\left(SCD\right))=\frac{4}{3}d(H;\left(SCD\right))=\frac{4}{3}HK$.

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\frac{HM}{AD}=\frac{HC}{AC}=\frac{3}{4}\Rightarrow HM=\frac{3}{4}AD=\frac{3a}{2}$ .

Xét tam giác vuông HMK: $HK=HM.\sin 45°=\frac{3a}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3a\sqrt{2}}{4}$ .

Vậy $d(AB;SC)=\frac{4}{3}.\frac{3a\sqrt{2}}{4}=a\sqrt{2}.$