Cho hàm số f(x) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn [0;1] , thỏa mãn f(0)=1

Đáp án D

Giả thiết tương đương với $3\underset{0}{\overset{1}{\int }}{[\sqrt{f\text{'}\left(x\right)}.f\left(x\right)]}^{2}dx+\frac{1}{3}=2\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{f\text{'}\left(x\right)}.f\left(x\right)dx$ .

$\begin{array}{l}\iff \underset{0}{\overset{1}{\int }}{[3\sqrt{f\text{'}\left(x\right)}.f\left(x\right)]}^{2}dx-2\underset{0}{\overset{1}{\int }}3\sqrt{f\text{'}\left(x\right)}.f\left(x\right)dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}dx=0\\ \iff \underset{0}{\overset{1}{\int }}{[3\sqrt{f\text{'}\left(x\right)}.f\left(x\right)-1]}^{2}dx=0\iff 3\sqrt{f\text{'}\left(x\right)}.f\left(x\right)=\mathrm{1,}\forall x\in [0;1]\iff 9f\text{'}\left(x\right).f^2\left(x\right)=1\end{array}$

 hay $9\int f^2\left(x\right)d\left(f\left(x\right)\right)dx=\int dx\Rightarrow 3f^3\left(x\right)=x+C$.

Do $f\left(0\right)=1$ , nên ta có: $3f^3\left(0\right)=0+C\iff C=3$  .

Vậy $f^3\left(x\right)=\frac{1}{3}x+1\Rightarrow \underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^3\left(x\right)dx=\frac{7}{6}$ .