Cho số thực a thay đổi và số phức z thỏa mãn z/(căn a^2+1)=(i-a)/(1-a(a-2i)) . Trên mặt phẳng tọa độ, gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Khoảng cách giữa hai điểm M và I(-3;4) (khi...

Đáp án A

Ta có: $\begin{array}{l}\frac{z}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{i-a}{1-a(a-2i)}\iff z=\frac{i-a}{1-a^2+2ai}\sqrt{a^2+1}\\ \iff z=\frac{i-a}{-{(a-i)}^2}\sqrt{a^2+1}\iff z=\frac{\sqrt{a^2+1}}{a-i}=\frac{\sqrt{a^2+1}(a+i)}{a^2-i^2}\\ \iff z=\frac{\sqrt{a^2+1}(a+i)}{a^2+i}\iff z=\frac{a+i}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}i\end{array}$

M là điểm biểu diễn số phức $z\Rightarrow M(\frac{a}{\sqrt{a^2+1}},\frac{1}{\sqrt{a^2+1}})$ .

Ta có: ${\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}\right)}^2+{\left(\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\right)}^2=\frac{a^2+1}{a^2+1}=1$ .

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn $x^2+y^2=1$  có tâm  $O(0;0)$bán kính $R=1$ .

Khi đó $I{M}_{\min }=IO-R=\sqrt{{(-3)}^2+4^2}-1=5-1=4$ .