Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình sau có nghiệm: 3^(2x+căn(x+1)-3^2+(căn x+1)+2017x<=2017; x^2-(m+2)x+2m+3>=0

Đáp án C

Điều kiện:  $x\ge -1$.

Ta có: $\left(1\right)\iff 3^{2x}{.3}^{\sqrt{x+1}}-3^2{.3}^{\sqrt{x+1}}\le 2017-2017x\iff (9^x-9)3^{\sqrt{x+1}}\le 2017(1-x)$  .

TH1:  $-1\le x<1$ thì $\{\begin{array}{l}VT=(9^x-9)3^{\sqrt{x+1}}<0\\ VP=2017(1-x)>0\end{array}.$

Suy ra $(9^x-9)3^{\sqrt{x+1}}\le 2017(1-x)$  có nghiệm với $-1\le x<1$  .

TH2: x=1 thì VT=VP.

TH3:$x>1$  thì $\{\begin{array}{l}VT=(9^x-9)3^{\sqrt{x+1}}>0\\ VP=2017(1-x)<0\end{array}.$

Suy ra $(9^x-9)3^{\sqrt{x+1}}\le 2017(1-x)$  vô nghiệm. Vậy (1) có nghiệm với: $-1\le x\le 1$ .

Ta có:  $\left(2\right)\iff m\ge \frac{x^2-2x+3}{x-2}$(với $-1\le x\le 1$ ).

Để bất phương trình có nghiệm trên $[-1;1]$  thì: $m\ge \underset{[-1;1]}{\min }\frac{x^2-2x+3}{x-2}=-2$  . Vậy $m\ge -2$ .