Cho hàm số y=|x^2-4x+2m-3| với m là tham số thực. Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [1;3] đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1/2 .

Đáp án B

Xét hàm số $f\left(x\right)=x^2-4\text{x}+2m-3$  liên tục trên đoạn $[1;3]$  .

Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=2\text{x}-4=0\iff x=2\in [1;3]$  .

Ta lại có: $f\left(1\right)=2m-6;\text{ f}\left(2\right)=2m-7;\text{ f}\left(3\right)=2m-6$ .

Suy ra: $\underset{[1;3]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|=\max \{|2m-6|;|2m-7|\}=M$ .

Ta có: $\{\begin{array}{l}M\ge |2m-6|\\ M\ge |2m-7|=|7-2m|\end{array}\Rightarrow 2M\ge |2m-6|+|7-2m|\ge |2m-6+7-2m|=1$

$\Rightarrow M\ge \frac{1}{2}$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\{\begin{array}{l}|2m-6|=|2m-7|=\frac{1}{2}\\ (2m-6)(7-2m)\ge 0\end{array}\iff m=\frac{13}{4}$ .

Vậy $m=\frac{13}{4}$  .