Cho hàm số y=x^3-3mx^2+2(m^2-1)x-m^3-m (m là tham số). Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số I(2;-2) . Tổng tất cả các giá trị của m để ba điểm I, A, B tạo thành tam giác...

Đáp án A

Ta có: $y^{\text{'}}=3{\text{x}}^2-6m\text{x}+3(m^2-1);=0\iff [\begin{array}{l}x=m+1\Rightarrow y=-4m-2\\ x=m-1\Rightarrow y=-4m+2\end{array}$

 $\Rightarrow A(m+1;-4m-2)$là điểm cực tiểu, $B(m-1;-4m+2)$  là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Dễ thấy $AB=2\sqrt{5}=2R$  nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có tâm chính là trung điểm AB hay tam giác IAB vuông tại I.

Có $\overrightarrow{IA}=(1-m;4m),\overrightarrow{IB}=(3-m;-4+4m)$  nên $IA\perp IB\iff \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}=0$  .

$\iff (1-m)(3-m)+4m(-4+4m)=0\iff m^2-4m+3-16m+16m^2=0$.

$\iff 17m^2-20m+3=0\iff [\begin{array}{l}m=1\\ m=\frac{3}{17}\end{array}$

Vậy tổng các giá trị của m là $1+\frac{3}{17}=\frac{20}{17}$  .