Cho khối lăng trụ ABC. A'B'C' có thể tích V, trên các cạnh AA', BB', CC' lần lượt lấy các điểm M,N,P sao cho AM=1/2AA', BN=2/3BB', CP=1/6CC'. Tính thể tích khối đa diện ABC'MNP ?

Đáp án A

Ta có: $V_{ABCMNP}=V_{N.ACB}+V_{N.ACPM}$ .

$V_{N.ACB}=\frac{BN}{B{B}^{\text{'}}}.V_{B^{\text{'}}ACB}=\frac{BN}{B{B}^{\text{'}}}.\frac{1}{3}{V}_{ABC{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$.

$\frac{V_{NACPM}}{V_{B^{\text{'}}AC{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}}=\frac{S_{ACPM}}{S_{AC{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}}=\frac{\frac{1}{2}(CP+AM)}{A{A}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}(\frac{CP}{C{C}^{\text{'}}}+\frac{AM}{A{A}^{\text{'}}})$

$\Rightarrow V_{NACPM}=\frac{1}{2}(\frac{CP}{C{C}^{\text{'}}}+\frac{AM}{A{A}^{\text{'}}}).\frac{2}{3}{V}_{ABC{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$

Suy ra: $V_{ABCMNP}=\frac{1}{3}(\frac{AM}{A{A}^{\text{'}}}+\frac{CP}{C{C}^{\text{'}}}+\frac{BN}{B{B}^{\text{'}}}).V_{ABC{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$

Vậy $V_{ABCMNP}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{1}{6}}{3}.V=\frac{4V}{9}$ .