Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng (1; dương vô cực) và thỏa mãn (xf'(x)-2f(x)0lnx=x^3-f(x) ; biết f( căn bậc 3 của e)=3e. Giá trị f(2) thuộc khoảng nào dưới đây?

Đáp án C

Vì  $x\in (1;+\infty )$ nên ta có $(x^2{f}^{\text{'}}\left(x\right)-2xf\left(x\right))\ln x=x^4-xf\left(x\right)$

$\iff \left(\frac{x^2{f}^{\text{'}}\left(x\right)-2xf\left(x\right)}{x^4}\right)\ln x=1-\frac{f\left(x\right)}{x^3}$.

$\Rightarrow {\left(\frac{f\left(x\right)}{x^2}\right)}^{\text{'}}\ln x=1-\frac{f\left(x\right)}{x^3}\iff \int {\left(\frac{f\left(x\right)}{x^2}\right)}^{\text{'}}\ln xdx=\int (1-\frac{f\left(x\right)}{x^3})dx$

$\iff \frac{f\left(x\right)\ln x}{x^2}-\int \frac{f\left(x\right)}{x^3}dx=x-\int \frac{f\left(x\right)}{x^3}dx+C$

$\iff \frac{f\left(x\right)\ln x}{x^2}=x+C\iff \frac{f\left(x\right)\ln x}{x^2}=x+C\iff f\left(x\right)=\frac{x^2(x+C)}{\ln x}$

Theo đề bài $f\left(\sqrt[3]{e}\right)=3e\Rightarrow C=0\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{x^3}{\ln x}f\left(2\right)=\frac{8}{\ln 2}\in (\frac{23}{2};12)$ .