Giả sử z là các số phức z thỏa mãn |iz-2+i|=3 . Giá trị lớn nhất của biểu thức 2|z-4-i|+|z+5+8i| bằng

Đáp án C

Gọi   $(a,b\in ℝ)\Rightarrow |iz-2-i|=3$

$\Rightarrow {(a-1)}^2+{(b+2)}^2=9$

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm $I(1;-2)$, bán kính R=3

Gọi $A(-5;-8)$ , $B(4;1)$  .      

Đặt $P=2|z-4-i|+|z+5+8i|\Rightarrow P=2MB+MA=MA+2MB$

Nhận xét: $IA=6\sqrt{2}$  , $IB=3\sqrt{2}$ , $AB=9\sqrt{2}\Rightarrow$ I, A, B thẳng hàng.

Ta có: $\{IA=2IB\Rightarrow \overrightarrow{IA}=-2\overrightarrow{IB}$

Ta có: $\{\begin{array}{l}M{A}^2=I{M}^2+I{A}^2-2\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IA}=I{M}^2+I{A}^2+4\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IB}\\ M{B}^2=I{M}^2+I{B}^2-2\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IB}\Rightarrow 2M{B}^2=2I{M}^2+2I{B}^2-4\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IB}\end{array}$

$\Rightarrow M{A}^2+2M{B}^2=3M{I}^2+I{A}^2+2I{B}^2=3R^2+I{A}^2+2I{B}^2={3.3}^2+72+2.18=135$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:

$P^2={(MA+2MB)}^2={(MA+\sqrt{2}.\sqrt{2}MB)}^2\le (1^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2)(M{A}^2+2M{B}^2)=3.135$

$\Rightarrow P^2\le 405\Rightarrow P\le 9\sqrt{5}$