Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y=x^3+3mx^2+3(m^2-1)x+m^3 có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khoảng (a;b). Giá trị của a+2b bằng

Đáp án D

$y^{\text{'}}=3x^2+6mx+3(m^2-1)=0\iff x^2+2mx+m^2-1=0$

Ta có ${\Delta }^{\text{'}}=1\Rightarrow y^{\text{'}}=0$  có 2 nghiệm

$[\begin{array}{l}{x}_1=-m+1\\ x_2=-m-1\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{l}{y}_1={(-m+1)}^3+3m{(-m+1)}^2+3(m^2-1)(-m+1)+m^3=3m-2\\ y_2={(-m-1)}^3+3m{(-m-1)}^2+3(m^2-1)(-m-1)+m^3=3m+2\end{array}$

để 2 cực trị nằm về hai phía trục hoành $\Rightarrow y_1.y_2<0\iff \frac{-2}{3}<m<\frac{2}{3}$

$\Rightarrow a=\frac{-2}{3}$; $b=\frac{2}{3}\Rightarrow a+2b=\frac{2}{3}$ .