. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V=1/6 , góc ACB=45 độ và AD+BC+AC/ căn2=3 . Hỏi độ dài cạnh CD?

Đáp án B

Ta có: $V=\frac{1}{3}.S_{ABC}.d(D,\left(ABC\right))=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.CA.CB.\sin 45°.d(D,\left(ABC\right))$

$=\frac{1}{6}.\frac{1}{\sqrt{2}}CA.CB.d(D,\left(ABC\right))\le \frac{1}{6}.\frac{CA.CB.AD}{\sqrt{2}}$        .

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương AD, BC,$\frac{AC}{\sqrt{2}}$ , ta có

$\frac{AC}{\sqrt{2}}.BC.AD\le {\left(\frac{\frac{AC}{\sqrt{2}}+BC+AD}{3}\right)}^3$

Do đó    $V\le \frac{1}{6}.{\left(\frac{\frac{AC}{\sqrt{2}}+BC+AD}{3}\right)}^3=\frac{1}{6}$    .

Mặt khác ta có  $V=\frac{1}{6}$do đó để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì từ  và , đẳng thức phải xảy ra, tức là $\{\begin{array}{l}DA\perp \left(ABC\right)\\ \frac{AC}{\sqrt{2}}=BC=AD=1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}CD=\sqrt{A{C}^2+D{A}^2}\\ BC=\mathrm{1,}AD=\mathrm{1,}AC=\sqrt{2}\end{array}\Rightarrow CD=\sqrt{3}$ .