Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên (0; pi/2) , thỏa mãn hệ thức f(x)+tanx.f'(x)=x/(cos^2(x)) . Biết rằng căn 3 f(pi/2)- f(pi/6)=a pi căn 3+bln3 trong đó a, b thuộc Q . Tín...

Đáp án A

Từ giả thiết, ta có: $\cos x.f\left(x\right)+\sin x.f\text{'}\left(x\right)=\frac{x}{{\cos }^{2}x}\iff [\sin x.f\left(x\right)]\text{'}=\frac{x}{{\cos }^{2}x}$ 

Lấy nguyên hàm hai vế, ta được: $\int [\sin x.f\left(x\right)]\text{'}dx=\int \frac{x}{{\cos }^{2}x}dx\Rightarrow \sin x.f\left(x\right)=x.\tan x+\ln \left|\cos x\right|+C$ .

+ Với $x=\frac{\pi }{3}$  ta có:$\sin \frac{\pi }{3}.f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\pi }{3}.\tan \frac{\pi }{3}+\ln \left|\cos \frac{\pi }{3}\right|+C\Rightarrow \sqrt{3}.f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{2}{3}\pi \sqrt{3}-2\ln 2+2C$

+ Với $x=\frac{\pi }{6}$ , ta có: $\sin \frac{\pi }{6}.f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{6}.\tan \frac{\pi }{6}+\ln \left|\cos \frac{\pi }{6}\right|+C\Rightarrow f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{9}\pi \sqrt{3}+\ln 3-2\ln 2+2C$

Do đó: $\sqrt{3}f\left(\frac{\pi }{3}\right)-f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{5}{9}\pi \sqrt{3}-\ln 3\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=\frac{5}{9}\\ b=-1\end{array}\Rightarrow P=a+b=-\frac{4}{9}$ .