Cho phương trình log2 ^2x-log2 x+m-3 =0. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt xa

Đáp án C

Điều kiện: $x>0$ .

Đặt ${\log }_{3}x=t$   ta có phương trình $t^2-4t+m-3=0(*)$ .

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1<x_2$   thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $t_1<t_2$ .

Hay $\Delta \text{'}=2^2-(m-3)=7-m>0\iff m<7$  .

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $\{\begin{array}{l}{t}_1+t_2=4\\ t_1.t_2=m-3\end{array}$ .

Ta có: $t_1={\log }_3{x}_1\Rightarrow x_1=3^{t_1};t_2={\log }_3{x}_2\Rightarrow x_2=3^{t_2}$ .

Khi đó $x_2-81x_1<0\iff 3^{t_2}-{81.3}^{t_1}<0\iff 3^{t_2}<3^{t_{1+4}}\iff t_2<t_1+4\iff t_2-t_1<4$ .

Suy ra ${(t_2-t_1)}^2<16\iff {(t_2+t_1)}^2-4t_1{t}_2<16\iff {(-4)}^2-4(m-3)<16\iff m-3>0\iff m>3$  .

Từ đó $3<m<7$  mà $m\in \mathbb{Z}$  nên $m\in \{4;5;6\}$ .

Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn đề bài.