Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R sao cho maxf(x)=f(2)=4 . Xét hàm số g(x)= f(x^3+x)-x^2+2x+m . Giá trị của tham số m để maxg(x)=8 là

Đáp án D

Xét  $g\left(x\right)=f(x^3+x)-x^2+2x+m$ trên $[0;2]$  ta có:

Với mọi $x\in [0;2]$   thì $x^3+x\in [0;10]$  nên $\underset{[0;2]}{\max }f(x^3+x)=4$  xảy ra khi $x^3+x=2\iff x=1$ .

Lại có $-x^2+2x+m=m+1-{(x-1)}^2\le m+1$  nên  $\max (-x^2+2x+m)=m+1$ xảy ra khi $x=1$ .

Do đó $\underset{[0;2]}{\max }g\left(x\right)=g\left(1\right)=4+m+1=5+m$ .

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi $5+m=8\iff m=3$ .