Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết AB=2AD=2DC=2a góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là 60 độ . Độ dài cạnh SA...

Đáp án A

Gọi E là trung điểm của AB. Ta dễ dàng chứng minh được ABCE  là hình vuông  

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}CE\perp AB\\ CE\perp SA\end{array}\Rightarrow CE\perp \left(SAB\right)\Rightarrow CE\perp SB$

Trong (SAB) kẻ $HE\perp SB$  ta có: $\{\begin{array}{l}SB\perp EH\\ SB\perp CE\end{array}\Rightarrow SB\perp \left(CHE\right)\Rightarrow SB\perp CH$

$\{\begin{array}{l}\left(SAB\right)\cap \left(SBC\right)=SB\\ \left(SAB\right)\supset EH\perp SB\\ \left(SAC\right)\supset CH\perp SB\end{array}\Rightarrow \widehat{(\left(SAB\right),\left(SBC\right))}=\widehat{(EH,CH)}=\widehat{CHE}={60}^o$Xét tam giác vuông CEH có $EH=CE.\cot {60}^o=\frac{a}{\sqrt{3}}.$

Ta có $\Delta SAB~\Delta EHG(g.g)\Rightarrow \frac{SA}{EH}=\frac{SB}{BE}\Rightarrow SA=\frac{EH.SB}{BE}=\frac{\frac{a}{\sqrt{3}}.\sqrt{S{A}^2+4a^2}}{a}$

$\iff \sqrt{3}SA=\sqrt{S{A}^2+4a^2\iff }3S{A}^2=S{A}^2+4a^2\iff S{A}^2=2a^2\iff SA=a\sqrt{2}$