Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số

* Hướng dẫn giải

Xét hàm số $f\left(x\right)=x^3-m{x}^2+12x+2m$ trên $\left(1;+\infty \right)$.

$f\text{'}\left(x\right)=3x^2-2mx+12$

TH1: $\Delta \text{'}=m^2-36\le 0\iff -6\le m\le 6.$

Khi đó $f\left(x\right)=x^3-m{x}^2+12x+2m$ luôn đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$

Để hàm số $y=\left|x^3-m{x}^2+12x+2m\right|$ luôn đồng biến trên $\left(1;+\infty \right)$.

$\Rightarrow f\left(1\right)\ge 0\iff m+13\ge 0\iff m\ge -13.$

Suy ra $-6\le m\le 6.$ Có 13 giá trị nguyên thỏa mãn.

TH2: $\Delta \text{'}=m^2-36>0\iff m<-6\vee m>6.$

Khi đó $f\text{'}\left(x\right)=3x^2-2mx+12$ phải có hai nghiệm phân biệt $x_1<x_2<1.$

Yêu cầu bài toán

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\in \left(-\infty ;-6\right)\cup \left(6;+\infty \right)\\ \left(x_1-1\right)+\left(x_2-1\right)<0\\ \left(x_1-1\right).\left(x_2-1\right)>0\\ f\left(1\right)\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\in \left(-\infty ;-6\right)\cup \left(6;+\infty \right)\\ S-2<0\\ P-S+1>0\\ m\ge -13\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\in \left(-\infty ;-6\right)\cup \left(6;+\infty \right)\\ \frac{2m}{3}-2<0\\ 4-\frac{2m}{3}+1>0\\ m\ge -13\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\in \left(-\infty ;-6\right)\cup \left(6;+\infty \right)\\ m<3\\ m<\frac{15}{2}\\ m\ge -13\end{array}\right.\iff -13\le m<-6.$

Có 7 giá trị nguyên thỏa.

Vậy có 20 giá trị nguyên thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn B.