Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + 2y + z - 5 = 0

* Hướng dẫn giải

Gọi I là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\iff 2\left(\overrightarrow{IN}+\overrightarrow{IB}\right)=\overrightarrow{0}$ với N là trung điểm của AC. Ta có $N\left(1;0;-1\right)\Rightarrow I\left(3;3;2\right).$

Ta có:

$M{A}^2+2M{B}^2+M{C}^2={\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)}^2+2{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)}^2=4M{I}^2+I{A}^2+2I{B}^2+I{C}^2$

Biểu thức $M{A}^2+2M{B}^2+M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên (P). Đường thẳng d đi qua I vuông góc với (P) có phương trình:

$d:\left\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=3+2t\\ z=2+t\end{array}\right..$ Thay vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

$2\left(3+2t\right)+2\left(3+2t\right)+\left(2+t\right)-5=0\iff t=-1\Rightarrow M\left(1;1;1\right).$

$\Rightarrow 2a+3b+c=2.1+3.1+1=6.$ 

Chọn B.