Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A

Gọi M là trung điểm của BC. Nối SM kẻ AH vuông góc với SM tại H

Ta có:

$BC\perp AM$ (do M là trung điểm của BC và tam giác ABC vuông cân tại A)

$BC\perp SA$ (do $SA\perp \left(ABC\right),BC\subset \left(ABC\right)$)

Nên: $BC\perp \left(SAM\right)\Rightarrow BC\perp AH$ (vì $AH\subset \left(SAM\right)$)

Lại có: $AH\perp SM$ (cách dựng)

Suy ra: $AH\perp \left(SBC\right)$ tại H

$\Rightarrow H$ là hình chiếu của A trên (SBC).

$\Rightarrow SH$ là hình chiếu của SA trên (SBC).

$\Rightarrow \widehat{\left(SA,\left(SBC\right)\right)}=\widehat{\left(SA,SH\right)}=\widehat{ASH}=\widehat{ASM}\Rightarrow \widehat{ASM}={30}^0$

+) Tam giác ABC vuông cân tại $A\Rightarrow 2A{B}^2=B{C}^2=2a^2\Rightarrow AB=a\Rightarrow AC=AB=a$

$\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{a^2}{2}$

Có: $AM=\frac{1}{2}BC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Tam giác SAM vuông tại $A\Rightarrow SA=\frac{AM}{\tan {30}^0}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$

Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là: $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.SA.S_{ABC}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{2}.\frac{a^2}{2}=\frac{a^3\sqrt{6}}{12}.$

Chọn B.