Cho bất phương trình với m là tham số. Có bao nhiêu

* Hướng dẫn giải

Bất phương trình đã cho tương đương với ${\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)}^x+\left(9-m\right){\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)}^x-\left(m-1\right)\ge 0.$

Đặt $t={\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)}^x$, với $x\in \left[0;2\right]\Rightarrow t\in \left[1;\frac{7+3\sqrt{5}}{2}\right],$ ta được bất phương trình

$t^2-\left(m-1\right)t+9-m\ge 0\iff \frac{t^2+t+9}{t+1}\ge m.$

Bất phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn [0; 2] khi và chỉ khi $m\le \underset{\left[1;\frac{7+3\sqrt{5}}{2}\right]}{\min }\frac{t^2+t+9}{t+1}.$

Xét hàm số $f\left(t\right)=\frac{t^2+t+9}{t+1}$ trên $\left[1;\frac{7+3\sqrt{5}}{2}\right]\Rightarrow f\text{'}\left(t\right)=1-\frac{9}{{\left(t+1\right)}^2};f\text{'}\left(t\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}t=2\\ t=-4\left(l\right)\end{array}\right..$

Dễ thấy $\underset{\left[1;\frac{7+3\sqrt{5}}{2}\right]}{\min }\frac{t^2+t+9}{t+1}=f\left(2\right)=5\Rightarrow m\le 5.$ Vậy có 5 giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn.

Chọn A.